前置知识
虚数i的真正意义是什么？
在复平面上假设有一个数$ 1+2i$,将它乘以-1，可以看到实际上是将这个数以原点为中心，旋转了180度，而乘以-1就是乘了两次i,所以乘以一次i就是将这个数在复平面上旋转90度！
对于这部分的知识在数论中有详细的讲解，大意是：对数的操作本质可以看做平移，旋转，放缩这个坐标系。
基本推导
$$ f( x ) =e^{ix}\\ $$
$$ f'( x ) =ie^{ix}=if( x )\\ $$
可以看出，$f'(x)$永远是$f(x)$旋转90度的向量。且注意向量的长度，永远为单位1，这意味着x的增加量和f(x)的路径增加量是相等的！
当x=0时：
当x增长时：
可以看出，这其实就是在单位圆上的转动。于是有：
$$ e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta $$
当x增加到$\pi$时，$f(x)$路径长度也为$\pi$,所以得出
$$ e^{i\pi}=-1 $$