基本概念

高斯分布也叫正态分布。
若随机变量x服从一个数学期望为$\mu$,标准方差为$\sigma ^2$的高斯分布，记为：

$$ X\thicksim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right) $$

其概率密度函数为

$$ f\left( x \right) =\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\left( x-\mu \right) ^2}{2\sigma ^2}} $$

当$\mu=0,\sigma ^2 = 1$时，称为标准正态分布

性质

• 两个独立的满足正态分布的随机变量，他们的和也是满足正态分布的。

  $$ X\thicksim N\left( \mu _x,\sigma _x^2 \right) \\ Y\thicksim N\left( \mu _y,\sigma _y^2 \right) \\ X+Y\thicksim N\left( \mu _x+\mu _y,\sigma _x^2+\sigma _y^2 \right) $$

• 满足正态分布的随机变量的线性变换也满足正态分布

  $$ X\thicksim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right) \\ aX+b\thicksim N\left( a\mu +b,\left( a\sigma \right) ^2 \right) $$